Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου 2019, Αίθουσα Μ2, 12.30-13.15.
Ομιλητής: Παναγιώτης Πολυμεράκης, Max Planck Institut for Mathematics
Τίτλος: Ιδιότητες Liouville σε κανονικούς χώρους κάλυψης
Περίληψη: Είναι γνωστό ότι κάποιες ιδιότητες της πρωταρχικής ομάδας ενός κλειστού πολυπτύγματος αντανακλώνται στη γεωμετρία του απλά συνεκτικού χώρου κάλυψης αυτού. Σε αυτήν την ομιλία θα ασχοληθούμε με σχέσεις μεταξύ της πρωταρχικής ομάδας και της ύπαρξης μη στθερών, θετικών ή φραγμένων αρμονικών συναρτήσεων στο χώρο κάλυψης. Όπως συνηθίζεται στη μελέτη τέτοιων συναρτήσεων, η προσέγγισή μας βασίζεται στην κίνηση Brown. Οι Lyons και Sullivan διακριτοποίησαν την κίνηση Brown στο χώρο κάλυψης, καταλήγοντας σε έναν τυχαίο περίπατο στην ομάδα. Η μέθοδός τους τροποποιήθηκε και επεκτάθηκε από τους Ballmann και Ledrappier, και σε μια πρόσφατη συνεργασία με τον Ballmann. Ειδικότερα, δείξαμε ότι οι χώροι των φραγμένων αρμονικών συναρτήσεων όπως και οι κώνοι των θετικών αρμονικών συναρτήσεων, στο χώρο κάλυψης και στην ομάδα (ως προς το επαγόμενο μέτρο πιθανότητας) είναι ισόμορφοι. Έτσι προκύπτουν κάποια αποτελέσματα σχετικά με την ύπαρξη μη σταθερών θετικών ή φραγμένων αρμονικών συναρτήσεων στο χώρο κάλυψης, τα οποία θα ανασκοπήσουμε. Τέλος, θα δείξουμε ότι αν ο χώρος κάλυψης έχει εκθετική volume growth, τότε υπάρχουν μη σταθερές, θετικές αρμονικές συναρτήσεις σε αυτήν. Αυτό, όπως και το αντίστροφό του, εικάστηκε από τους Lyons και Sullivan.