Παρασκευή, 8 Νοεμβρίου 2019, στις 12:15 – 13:00, Αίθουσα Μ0
Ομιλήτρια: Μαγδαληνή Φλάρη (Τμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ.)
Τίτλος: Ο μετασχηματισμός Legendre, ένα ταξίδι από συναρτήσεις στις διπλές διανυσματικές δέσμες
Περίληψη: Σύμφωνα με τον V.I. Arnold: «Ο μετασχηματισμός Legendre μετασχηματίζει συναρτήσεις επί ενός διανυσματικού χώρου σε συναρτήσεις επί του αντίστοιχου δυϊκού χώρου.»
Στην Κλασσική Μηχανική, ξεκινώντας από ένα Λαγκρανζιανό σύστημα, μπορούμε να περιγράψουμε το αντίστοιχο Χαμιλτονιανό σύτημα μέσω του μετασχηματισμού Legendre. Η Χαμιλτονιανή συνάρτηση του νέου συστήματος είναι η “δυϊκή συνάρτηση”, υπό την έννοια Legendre, της αντίστοιχης Λαγκρανζιανής συνάρτησης του αρχικού συστήματος. Στον κόσμο των πολλαπλοτήτων, ο μετασχηματισμός Legendre οδηγεί σε μορφισμούς διανυσματικών δεσμών, από την εφαπτόμενη στη συνεφαπτόμενη δέσμη της πολλαπλότητας που ορίζεται από το χώρο των θέσεων (configuration space) του συστήματος.
Στη δεκαετία του ’90, οι Kirill Mackenzie και Ping Xu, ορίσανε έναν αντισυμπλεκτομορφισμό “τύπου Legendre” στις διπλές διανυσματικές δέσμες. Αυτός ο μορφισμός ήτανε το κύριο εργαλείο για να οριστεί δομή διπλής διανυσματικής δέσμης επί της συνεφαπτόμενης δέσμης μίας διανυσματικής δέσμης. Στην πρόσφατη εργασία μας με τον Κ. Mackenzie (Warps and duality for double vector bundles, arXiv:1909.05798), επεκτείνουμε αυτόν τον “τύπου Legendre” μορφισμό σε τυχαίες διπλές διανυσματικές δέσμες. Οι μορφισμοί αυτοί έχουν άμεσες εφαρμογές στη θεωρία της δυϊκότητας των διπλών διανυσματικών δεσμών, και αποτελούν βασικό εργαλείο στη θεωρία των διπλών Lie αλγεβροειδών, και σε σχετικές έννοιες της γεωμετρίας Poisson.