Μάθημα “Αρμονικής Ανάλυσης” – Μιχάλης Παπαδημητράκης (Πανεπιστήμιο Κρήτης)

Ύλη: Στο πρώτο, βασικό, μέρος του μαθήματος θα διδάξω τον μετασχηματισμό Fourier στον χώρο L^1, στον χώρο L^2, στους χώρους L^p (1<p<2), στον χώρο των μιγαδικών μέτρων, και στον χώρο των ελεγχόμενων κατανομών. Στο δεύτερο μέρος, και ανάλογα με τον χρόνο που θα έχει απομείνει, σκοπεύω να θίξω κάποια από τα παρακάτω επιπλέον θέματα: θεώρημα Bochner για θετικά ορισμένες κατανομές, θεώρημα Paley-Wiener για κατανομές με συμπαγή φορέα, αρχή απροσδιοριστίας, χώροι Sobolev, ιδιάζοντα ολοκληρώματα (π.χ. μετασχηματισμός Hilbert και η σχέση με την Μιγαδική Ανάλυση), ο χώρος των συναρτήσεων μέσης φραγμένης κύμανσης.

Προαπαιτούμενη γνώση: Τα βασικά από την μεταπτυχιακή Πραγματική Ανάλυση: μέτρα (κυρίως μέτρο Lebesgue στον ευκλείδειο χώρο R^d), οι χώροι L^p, θεώρημα Fubini, παραγώγιση μέτρου και απολύτως συνεχή μέτρα. Ο χώρος των συναρτήσεων Schwarz και οι ελεγχόμενες κατανομές δεν θα θεωρηθούν γνωστά και θα οριστούν στο μάθημα. Επίσης, η προπτυχιακή Αρμονική Ανάλυση δεν προαπαιτείται.

Υποχρεώσεις των φοιτητών: Το μάθημα είναι προχωρημένο, οπότε μάλλον δεν θα κάνω τελικό διαγώνισμα. Κατά τη διάρκεια του εξαμήνου θα δίνω φυλλάδια ασκήσεων και θα ζητάω από τους φοιτητές να μου δίνουν τις λύσεις κάποιων λίγων από αυτές. Απαιτείται η συνεπής παρακολούθηση και το διάβασμα.

Βιβλιογραφία: Στη διάρκεια του μαθήματος θα μοιράζω πρόχειρες δικές μου σημειώσεις. Επίσης, υπάρχουν και τα βιβλία: “Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces” των Stein και Weiss, “Lectures on Harmonic Analysis” του Wolff, “Functional Analysis” του Yosida, “Methods of Modern Mathematical Physics” των Reed και Simon, “Fourier Analysis” του Duoandikoetxea.

Ώρες: Κατ’ αρχάς, 11-1 Δευτέρα και Τετάρτη. Αλλά αυτές οι ώρες μπορεί να αλλάξουν κατόπιν συνεννόησης με τους φοιτητές.